基于特征函数展开法的电涡流检测解析建模研究

1 引言
电涡流检测技术以其成本低、速度快、安全、不需耦合剂等优点被广泛用于各领域中金属材料的无损检测与评估[1]。在电涡流无损检测技术的基础研究中，探头响应的解析建模是必不可缺的组成部分，迄今已有大量的相关文献报道。在已有研究成果中，1968年Dodd等[2]应用分离变量法建立线圈阻抗模型，是解析建模研究历史中的里程碑事件。后来，Cheng[3]借助矩阵法将Dodd等建立的线圈阻抗模型推广到任意层导电结构。毫不夸张地说，这两篇经典文献极大地影响了后续学者的研究思路，为解决其他规则问题的探头响应建模提供了解决方法。

近些年，Theodoulidis将经典的特征函数展开法用于电涡流检测探头响应的解析建模研究中，取得了巨大成功，该方法被命名为截断区域特征函数展开法(Truncated Region Eigenfunction Expansion method, TREE)[4]。该方法的提出与应用使得常规问题探头响应模型不再是复杂的广义积分，而是无穷级数和，明显提高了模型效率；更重要的是该方法的应用大大拓展了可解析求解问题的范围。本文较全面的综述了应用截断区域特征函数展开法开展探头响应机械建模的研究成果，对未来的研究进行展望。

2基于TREE法的探头响应模型的研究进展
特征函数展开法是数学物理方法（偏微分方程）教程中的经典方法。近些年，Theodoulidis教授通过设定模型区域边界将其由无限大变为有限大小，通过选择离散特征值及其特征函数，从而在多边界处可同时满足场量连续条件[4]。

TREE法可用于改进传统的Dodd模型，使得模型表达式由积分型转化为级数求和，可显著提高模型效率，降低模型数值计算的复杂程度，如Theodoulidis[5]推导了位于半无限大平板上方和无限厚圆柱内部线圈阻抗的级数表达式；作者应用TREE法和电磁波的反射与透射理论建立了更高效可靠的任意层平板导体上方线圈激励下涡流场的解析模型[6]。更重要的是，TREE法的应用解决了很多原来认为无法解析求解的问题，极大地拓宽了解析求解问题的范围。目前已经解决的问题有
①        半无限大导体上方含圆柱型铁芯线圈阻抗的解析模型[7]；
②        位于含孔型缺陷的半无限大导体上方线圈阻抗的解析模型[4]；
③        位于无裂纹[8]和有裂纹[9]的导体边缘处线圈阻抗的解析模型；
④        位于柱型导体边缘处线圈阻抗的解析模型[10]；
⑤        位于有理想和有限宽度裂纹的导体上方线圈阻抗的解析模型[11]；
TREE法的应用目前刚刚开始，相信还会有更多的原以为无法解析求解的问题能够成功求解。

3 基于TREE法的探头响应模型与传统模型的比较
在电涡流无损检测中，传统的Dodd模型认为电磁场分布在无限大空间内，导致电磁场解析模型为广义积分表达式。对放置于无限大导体上方的线圈（如图1所示）

为了说明TREE法应用的合理性，本文通过仿真研究了磁场在导体内部的分布，如图2所示。

通过图2可知，导体内部的磁场主要分布在非常有限的区域内，而在该区域外可认为磁场已经消失。因该问题属于轴对称问题，可假定模型区域为半径为的圆柱体内，应用分离变量法求解Maxwell方程组可得线圈阻抗的级数表达式如下


为了展示应用TREE法改进模型优点，以四层平板结构为研究对象，在激励频率为1 kHz、10 kHz和100 kHz时，分别应用积分模型（Dodd模型）和级数模型（改进模型）计算了线圈阻抗变量，如表1所示；并在频率为1 kHz时分别计算了1次、10次、100次所用时间，结果如表2所示。




通过表1和表2可知，应用TREE法推导的线圈阻抗级数表达式的精度与积分表达式的精度相当，但计算效率却得到了显著提高。
4         结论
近年来在电涡流检测探头响应的解析建模研究中出现了一种新方法——截断区域特征函数展开法。本文综述了该方法在探头响应解析建模应用中的研究进展，通过已有成果和实例仿真表明，TREE法的应用在保证模型的前提下可显著提高精度效率，并且大大扩展了能够解析求解问题的范围，为电涡流检测探头响应解析建模的深入研究奠定了基础。

参考文献
[1]         黄平捷.多层导电结构厚度与缺陷电涡流检测若干关键技术研究[D].杭州:浙江大学, 2004.
[2]         CD. Dodd and WE. Deeds. Analytical solutions to eddy-current probe coil problems [J]. J. Appl. Phys., 1968, 39(6):2829-2838.
[3]         CC Cheng, CV Dodd and WE Deeds. General analysis of probe coils near stratified conductors [J]. Int. J. Nondestr. Test., 1971, 3:109-130.
[4]         TP Theodoulidis and JR Bowler. The truncated region eigenfunction expansion method for the solution of boundary value problems in eddy current nondestructive evaluation [J]. Review of Quantitative Nondestructive Evaluation, 2005, 24: 403-408.
[5]         TP Theodoulidis and EE Kriezis. Series expansions in eddy current nondestructive evaluation models [J]. J Mater. Process. Technol., 2005, 161(1-2):343-347.
[6]         范孟豹, 黄平捷, 叶波, 侯迪波, 张光新, 周泽魁. 基于反射与折射理论的电涡流检测探头阻抗解析模型 [J]. 物理学报, 2009, 58(9):.5950-5954.
[7]         TP Theodoulidis. Model of ferrite-cored probes for eddy current nondestructive evaluation [J]. J. Appl. Phys., 2003, 93(5): 3071-3078.
[8]         TP Theodoulidis and JR Bowler. Eddy current coil interaction with a right-angled conductive wedge [C]. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical. 2005, 461:3123-3139.
[9]        TP Theodoulidis and JR Bowler. On the interaction of an eddy current coil with a right-angled conductive wedge [J]. IEEE Trans. Magn., Accepted.
[10]         H Sun, JR Bowler and TP Theodoulidis. Eddy currents induced in a finite length layered rod by a coaxial coil [J]. IEEE Trans. Magn., 2005, 41(9): 2455-2461.
[11]        TP Theodoulidis, N Poulakis and A. Dragogias. Rapid computation of eddy current signals from narrow cracks [J]. NDT&E Int., 2010, 43(1):13-19.