〔学习统计学笔记〕二、统计误差理论

    数理统计理论，是一门数学基础课，它包括概率论等许多知识。以我的水平，在这里只记与统计误差有关的结论。

1  标准相对统计误差

    设期望值或期望值的近似值为m，则标准统计误差σ与m有如下关系:

              σ2 (σ的平方)=m                                                (1)

             σ=m 1/2 (m的1/2次方)                                      (2)

    相对标准统计误差(准确度)

               K=σ/m=1/（ m 1/2 ）(即m1/2次方的倒数)      (3)

    通过公式(3) 可以看出:期望值或期望值m，数值越大，相对标准统计误差K，反而越小。m值决定于测量次数或微观系统相关粒子数N。N太小，就失去了统计性。

2  测量值与准确性的正态分布

    符合统计性的测量值，应呈正态分布，通常用正态分布曲线表示。统计测量的正态分布曲线，横坐标为测量值，纵坐标为精确度。设期望值或期望值的近似值为m，当测量值为m时，精确度最高，100%，误差为零; 测量值往往在m两侧，由近而远大体对称分布，而准确度也在过m的垂线两侧由高而低的对称分布。

    这就引出了不同误差的置信区间和置信度的问题。如一次测量结果即为m，精确度100%，误差为零，那么，它的置信区间---误差区间为零，可信程度---置信度为零，太巧了。所以，精确度和置信区间、置信度有相反关系，精确度高，误差小，置信区间窄，置信度低。通常，测量误差大小，用标准统计误差σ的若干倍表示，记作kσ，用以表示置信区间（即正态分布曲线某一误差下的水平宽度，m值在左右--实为上下波动范围），不同误差的置信区间和置信度的关系，如表1。

                               表1 不同误差的置信区间和置信度

                误差名称   置信区间±kσ中的k值     置信度(%)

                或然误差         0.6745                       50

               标准误差         1.0000                        68.3

               0.95误差         1.960                          95

               极艰误差         3.000                          99.7

     通常，如不特别指明，所谓“统计误差” ，均指标准误差。

    根据正态分布理论和测量次数N的多少，也可以这样说：
    大约有68．3％的测量值平均数落在m±1σ之间，
    大约有95％的测量值平均数落在m±1．96σ之间，
     大约有99％的测量值平均数落在m±3σ之间等等。如图1所示。

   
   


               



                    图1  平均数分布的概率

质量检查人员，似乎应学习点统计误差理论。似乎远东BBS讨论过:10%抽查，保证工程质量---焊缝质量的问题。辐射测量仪器，均有统计误差问题，希望与感兴味的坛友沟通。